Kalkulus Contoh

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Langkah 1

Tulis $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{3}{10}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{10} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.5

Gabungkan $\frac{15}{10}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1

Faktorkan $5$ dari $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.2.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 x^{4}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.5

Gabungkan $\frac{12}{2}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.6.2.4

Bagilah $6 x^{3}$ dengan $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Langkah 2.2.4.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $6 x$ dari $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $6 x$ dari $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $6 x$ dari $12 x^{2}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan $6 x$ dari $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Langkah 3.2.1.4

Faktorkan $6 x$ dari $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

Langkah 3.2.1.5

Faktorkan $6 x$ dari $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur ${(x + 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur ${(x + 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan ${(x + 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.5.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $\frac{3}{10}$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.2.1

Gabungkan $\frac{3}{10}$ dan $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

Langkah 4.3.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

Langkah 4.3.2.2.3

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

Langkah 4.3.2.2.4

Tulis $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

Langkah 4.3.2.2.5

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Langkah 4.3.2.2.6

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Langkah 4.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

Langkah 4.3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

Langkah 4.3.2.4.2

Tambahkan $- 3$ dan $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

Langkah 4.3.2.4.3

Kurangi $10$ dengan $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

Langkah 4.3.2.4.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

Langkah 4.3.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ adalah $(- 1, - \frac{3}{10})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $12$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $6$ dengan $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $- 7.986$ dan $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $6.6$ dengan $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.066$ .

$- 0.066$

Langkah 6.3

Pada $- 1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.066$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 1)$

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5.3

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.6

Gabungkan $3$ dan $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.9

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.9.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.10

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.11

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.12

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.13

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.14

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.14.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.15.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 7.2.1.15.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 7.2.1.15.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 7.2.1.15.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

Langkah 7.2.1.16

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

Langkah 7.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Tulis $3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

Langkah 7.2.2.3

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

Langkah 7.2.2.4

Tulis $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

Langkah 7.2.2.5

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.2.2.6

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.4.2

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Tambahkan $- 3$ dan $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

Langkah 7.2.5.2

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Langkah 7.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Langkah 7.3

Pada $- \frac{1}{2}$ , turunan kedua adalah $- 0.75$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 1, 0)$

Menurun pada $(- 1, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $12$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

Langkah 8.2.1.5

Kalikan $6$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tambahkan $0.006$ dan $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $0.126$ dan $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.726$ .

$0.726$

Langkah 8.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $0.726$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Langkah 10