Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x) d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{x^{3}}{2} d x + \int - \cos (3 x) d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int - \cos (3 x) d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \cos (3 x) d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (3 x) d x$

Langkah 7

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 8

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Langkah 10

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Langkah 11.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$