Kalkulus Contoh

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Langkah 4

Biarkan $u = y + 2$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = y + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 4.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = y + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Langkah 4.3

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = y + 2$ .

$u_{upper} = 0 + 2$

Langkah 4.5

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{1}{2} y^{2}$ pada $0$ dan pada $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Langkah 7.2

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.5

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.6

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $2^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.7

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.7.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.7.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.7.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.7.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.7.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.7.4

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7.3.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 7.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 7.3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Langkah 7.3.11

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Langkah 7.3.12

Untuk menuliskan $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.3.13

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.13.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.3.13.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.3.13.3

Kalikan $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Langkah 7.3.13.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Langkah 7.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Langkah 7.3.15

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2^{\frac{5}{2}} - 2$ .

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Langkah 8.2

Faktorkan $- 1$ dari $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Langkah 8.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Langkah 8.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Langkah 9.2

Kalikan $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Buang faktor negatif.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Langkah 9.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Langkah 9.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Langkah 9.2.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Langkah 9.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Langkah 9.2.6

Tambahkan $2$ dan $5$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Langkah 9.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

Langkah 9.4

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Bentuk Desimal:

$0.71895141 \dots$

Langkah 11