Kalkulus Contoh

$\int_{- 4}^{0} (\frac{y}{4} + \sqrt{y + 5}) d y$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} + \sqrt{y + 5} d y$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 4}^{0} y d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Langkah 5

Biarkan $u = y + 5$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = y + 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 5$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 5.1.4

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = y + 5$ .

$u_{lower} = - 4 + 5$

Langkah 5.3

Tambahkan $- 4$ dan $5$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = y + 5$ .

$u_{upper} = 0 + 5$

Langkah 5.5

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Langkah 6

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\frac{1}{2} y^{2}$ pada $0$ dan pada $- 4$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Langkah 8.2

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $5$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.3

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} \cdot 16) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.4

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 16$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 8}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.6.2.4

Bagilah $- 8$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 8) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.7

Kurangi $8$ dengan $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 8 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 8$ .

$\frac{- 8}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.9.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.9.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.9.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.10

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $5^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 8.3.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 8.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 8.3.13

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Langkah 8.3.14

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Langkah 8.3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Langkah 8.3.16

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.16.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{- 6 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Langkah 8.3.16.2

Kurangi $2$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Langkah 8.3.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bentuk Desimal:

$4.78689325 \dots$

Langkah 10