Kalkulus Contoh

$2 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Langkah 3

Faktorkan $\sin^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $1 - \cos^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Langkah 5

Biarkan $u = \cos (t)$ . Kemudian $d u = - \sin (t) d t$ sehingga $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = \cos (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Langkah 5.1.2

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 5.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 5.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 6

Kalikan $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $- 1 u^{2}$ sebagai $- u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 7.2

Kalikan $u^{2}$ dengan $u^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Langkah 13

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $\frac{u^{3}}{3}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$2 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\frac{u^{5}}{5}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$2 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$2 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$2 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.4

Kurangi $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$2 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.7

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.8.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.8.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.8.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Langkah 14.3.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Langkah 14.3.10

Kurangi $\frac{1}{5}$ dengan $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Langkah 14.3.11

Untuk menuliskan $\frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Langkah 14.3.12

Untuk menuliskan $- \frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 14.3.13

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.13.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 14.3.13.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 14.3.13.3

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Langkah 14.3.13.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Langkah 14.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{5 - 3}{15}$

Langkah 14.3.15

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$2 (\frac{2}{15})$

Langkah 14.3.16

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{15}$

Langkah 14.3.17

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{15}$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{4}{15}$

Bentuk Desimal:

$0.2\overline{6}$

Langkah 16