Kalkulus Contoh

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{2 x}$ dan $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.7.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.3.2

Kurangi $e^{2 x}$ dengan $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.5

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.5.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.5.2

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- 7 e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.5.3

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ .

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $h (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $e^{2 x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $e^{2 x}$ sama dengan $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Langkah 2.3.2.2

Selesaikan $e^{2 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Langkah 2.3.2.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.3.2.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{2 x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.3.3

Atur $2 x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $2 x - 7$ sama dengan $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Selesaikan $2 x - 7 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 7$

Langkah 2.3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 7$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 7$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ benar.

$x = \frac{7}{2}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{7}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{7}{2}$ untuk $x$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 4.1.2.2.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Langkah 4.1.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Langkah 4.1.2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Langkah 4.1.2.2.4.2

Kurangi $6$ dengan $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{7} \cdot 2$

Langkah 4.1.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Langkah 4.2.2.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Langkah 5