Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Langkah 1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Langkah 2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Langkah 3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Langkah 3.3

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Langkah 3.5

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 3.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 3.5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Langkah 3.5.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Langkah 3.5.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Langkah 3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Langkah 3.7.2

Kalikan $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ dengan $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Langkah 3.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Langkah 3.9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $- t$ dan pada $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Langkah 3.9.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Langkah 3.9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Langkah 3.9.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 3.10

Karena eksponen $- t$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- t}$ mendekati $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 3.11

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 3.11.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.2.1

Kurangi $1 \cdot 1$ dengan $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.11.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.2.2.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.11.2.2.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.11.2.2.3

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.2.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Langkah 3.11.2.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$