Kalkulus Contoh

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Langkah 1.1.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Langkah 1.3.3

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Langkah 1.3.5

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Langkah 1.3.6

Karena $- \frac{π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Langkah 1.3.7.2

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $- 8$ .

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 1.3.7.3

Gabungkan $\frac{π \cdot - 8}{4}$ dan $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Langkah 1.3.7.4

Pindahkan $- 8$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Langkah 1.3.7.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Langkah 1.3.7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

Langkah 1.3.7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.3.7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

Langkah 1.3.7.5.2.4

Bagilah $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ dengan $1$ .

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 2 π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ terhadap $x$ adalah $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Langkah 2.3.4

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Langkah 2.3.5

Karena $- \frac{π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Langkah 2.3.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.6.2

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Langkah 2.3.6.3

Gabungkan $\frac{π \cdot - 2}{4}$ dan $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 2.4

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 2.5

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Langkah 2.8

Gabungkan $\frac{- 2 π^{2}}{4}$ dan $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Langkah 2.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Langkah 2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

Langkah 2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ dengan $- 2 π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ dengan $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2.2.2

Bagilah $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ dengan $1$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Langkah 4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Langkah 4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Langkah 4.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

Langkah 4.3.2

Bagilah $0$ dengan $- π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Langkah 5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

Langkah 7

Tambahkan $\frac{π}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

Langkah 8

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 9.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{2}{π} π$

Langkah 9.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2}{π} π$

Langkah 9.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2$

Langkah 10

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

Langkah 11

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

Langkah 11.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $\frac{π}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Langkah 11.2.5.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

Langkah 11.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $3 π$ .

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Langkah 11.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Langkah 11.4.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 \cdot 3$

Langkah 11.4.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = 6$

Langkah 12

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ .

$x = 2, 6$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Faktorkan $2$ dari $π (2)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 14.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 14.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 14.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 14.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

Langkah 14.2.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

Langkah 14.2.3

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

Langkah 14.2.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

Langkah 14.3

Kalikan $π^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{π^{2}}{2}$

Langkah 15

$x = 2$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Langkah 16.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Langkah 16.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 16.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

Langkah 16.2.3

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

Langkah 16.2.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$f (2) = 8 \cos (0)$

Langkah 16.2.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (2) = 8 \cdot 1$

Langkah 16.2.6

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f (2) = 8$

Langkah 16.2.7

Jawaban akhirnya adalah $8$ .

$y = 8$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = 6$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Faktorkan $2$ dari $π (6)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 18.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 18.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 18.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Langkah 18.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

Langkah 18.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

Langkah 18.2.3

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Langkah 18.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Langkah 18.2.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

Langkah 18.2.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

Langkah 18.2.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

Langkah 18.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

Langkah 18.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $π^{2}$ .

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

Langkah 18.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{π^{2}}{2}$

Langkah 18.4

Kalikan $- - \frac{π^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{π^{2}}{2}$

Langkah 18.4.2

Kalikan $\frac{π^{2}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Langkah 19

$x = 6$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 6$ adalah minimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

Langkah 20.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Langkah 20.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Langkah 20.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

Langkah 20.2.1.2

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $3$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 20.2.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 20.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

Langkah 20.2.2.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Langkah 20.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Langkah 20.2.2.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$f (6) = 8 \cos (π)$

Langkah 20.2.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

Langkah 20.2.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 20.2.5

Kalikan $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (6) = 8 \cdot - 1$

Langkah 20.2.5.2

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$f (6) = - 8$

Langkah 20.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 8$ .

$y = - 8$

Langkah 21

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ .

$(2, 8)$ adalah maksimum lokal

$(6, - 8)$ adalah minimum lokal

Langkah 22