Kalkulus Contoh

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Periksa apakah hasil yang didapatkan sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Temukan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $c$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $c e^{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Langkah 1.1.3.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Langkah 1.1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Langkah 1.2

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Langkah 1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Langkah 1.4

Hasil yang didapatkan sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan.

$y = c e^{x^{2}}$ adalah penyelesaian dari $y' = 2 x y$

Langkah 2

Substitusikan pada nilai awal.

$1 = c e^{0^{2}}$

Langkah 3

Selesaikan $c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $c e^{0^{2}} = 1$ dengan $e^{0^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $c e^{0^{2}} = 1$ dengan $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{0^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $c$ dengan $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Langkah 3.2.3.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Langkah 3.2.3.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$c = 1$