Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x$

Langkah 4

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 4.1.2

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.1.2

Bagilah $A (x + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.4.1

Faktorkan $x$ dari $B (x^{2} (x + 1))$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.4.2.5

Bagilah $B (x (x + 1))$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.5

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.6

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.7

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.8

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.9

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 4.1.5.9.2

Bagilah $(C) (x^{2})$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Susun kembali $B$ dan $x$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Langkah 4.1.6.2

Pindahkan $A$ .

$1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Langkah 4.1.6.3

Pindahkan $B x$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Langkah 4.1.6.4

Pindahkan $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Langkah 4.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = B + C$

Langkah 4.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 4.2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 4.2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

Langkah 4.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

Langkah 4.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + B$ dengan $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$0 = B + C$

Langkah 4.3.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

Langkah 4.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $- 1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $0 = B + C$ dengan $- 1$ .

$0 = (- 1) + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Langkah 4.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Langkah 4.3.5

Selesaikan $C$ dalam $0 = - 1 + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + C = 0$ .

$- 1 + C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

Langkah 4.3.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Langkah 4.3.6

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$C = 1 B = - 1 A = 1$

Langkah 4.3.7

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$C = 1, B = - 1, A = 1$

Langkah 4.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

Langkah 4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 6.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 10

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 10.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 10.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$