Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 t)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 t)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

Langkah 1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Langkah 1.5.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \cos (π)$

Langkah 1.5.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Langkah 1.5.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 3

Kalikan $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $- 1 (\frac{1}{2})$ sebagai $- (\frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.4

Kalikan $u_{2}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.5

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $- \frac{1}{2} u_{2}$ pada $- 1$ dan pada $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Langkah 9.2

Evaluasi $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ pada $- 1$ dan pada $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 9.3.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 9.3.4

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 9.3.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 9.3.6

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 9.3.7

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Langkah 9.3.8

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Langkah 9.3.9

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Langkah 9.3.10

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 9.3.11

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.3.12

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Langkah 9.3.13

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Langkah 9.3.14

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.14.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Langkah 9.3.14.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 9.3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 + 1}{4}$

Langkah 9.3.16

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{3}{4}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.75$