Kalkulus Contoh

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Langkah 1

Karena $44$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $44$ keluar dari integral.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = 4 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ positif.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $16$ dari $16 \tan^{2} (t) + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Faktorkan $16$ dari $16 \tan^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan $16$ dari $16$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.2.3

Faktorkan $16$ dari $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.4

Tulis kembali $16 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $4 \sec (t)$ dari ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $4 \sec (t)$ dari $4 \sec^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ dan $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Faktorkan $4$ dari $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Langkah 3.2.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 (\tan (t))$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2.3.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{16}$ keluar dari integral.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{16}$ dan $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $44$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $4$ dari $44$ .

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\sec (x)$ sebagai $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Langkah 6.2

Terapkan identitas timbal-balik.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 6.3.2

Gabungkan.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 6.3.3

Kalikan $\csc (t)$ dengan $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Langkah 6.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 6.3.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 6.3.5

Gabungkan $\cot (t)$ dan $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 6.3.6

Kurangi pernyataan $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.6.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Langkah 6.3.6.2

Faktorkan $\cot (t)$ dari ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Langkah 6.3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Langkah 6.3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Langkah 6.3.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Langkah 7

Karena turunan dari $- \csc (t)$ adalah $\csc (t) \cot (t)$ , maka integral dari $\csc (t) \cot (t)$ adalah $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{11}{4}$ dan $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arctan (\frac{x}{4})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, \frac{x}{4})$ . Oleh karena itu, $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ adalah $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

Langkah 10.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.7

Tulis kembali $\frac{16 + x^{2}}{16}$ sebagai ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.7.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $16 + x^{2}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.7.2

Faktorkan kuadrat sempurna $4^{2}$ dari $16$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.7.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.9

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

Langkah 10.1.10

Gabungkan.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Langkah 10.1.11

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Langkah 10.1.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Langkah 10.2

Gabungkan $11$ dan $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Langkah 10.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Langkah 10.4

Gabungkan.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Langkah 10.5

Kalikan $11$ dengan $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Langkah 10.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$