Kalkulus Contoh

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Langkah 4

Karena turunan dari $- \cot (x)$ adalah $\csc^{2} (x)$ , maka integral dari $\csc^{2} (x)$ adalah $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Langkah 5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = \csc (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = \csc (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Langkah 6.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \csc (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2.2

Turunan dari $\csc (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Langkah 6.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Langkah 6.1.3.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Langkah 9.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Langkah 9.2.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Langkah 9.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 u_{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Langkah 9.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Langkah 9.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 9.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Langkah 9.2.4.2.4

Bagilah $- 2 u_{2}$ dengan $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$