Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $\frac{- 5}{2}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- \frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3.6

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $- \frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{5} x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \cdot 1$

Langkah 1.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5}$

Langkah 1.6

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- \frac{5}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{5 x^{4}}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- \frac{5}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$\frac{- 20}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.6

Gabungkan $\frac{- 20}{2}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 20$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 20 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 10 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.2.7.2.4

Bagilah $- 10 x^{3}$ dengan $1$ .

$- 10 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{4}}$ sebagai ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.4.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{- 8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.5

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.6

Kalikan $x^{- 8}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 (x^{3} x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{3 - 8} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.4.6.3

Kurangi $8$ dengan $3$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Langkah 2.5

Karena $- \frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{5}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + 0$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Langkah 2.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{- 4}{x^{5}} + 0$

Langkah 2.6.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}} + 0$

Langkah 2.6.2.3

Tambahkan $- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$ dan $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$

Langkah 2.6.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$ .

$- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$