Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + 2 x^{3}$ . Kemudian $d u = 6 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + 2 x^{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0 + 2 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$0 + 6 x^{2}$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $6 x^{2}$ .

$6 x^{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + 2 x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{3}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + 2 x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{3}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{3} u^{5} \frac{1}{6} d u$

Langkah 2

Gabungkan $u^{5}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{5}}{6} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{5}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{3}$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{1}{6} u^{6}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $6$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $729$ .

$\frac{1}{6} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $729$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $729$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Langkah 5.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Untuk menuliskan $\frac{243}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.5.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kalikan $\frac{243}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Kalikan $243$ dengan $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

Langkah 5.5.4.2

Kurangi $1$ dengan $729$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{728}{6}$

Langkah 5.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $728$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Faktorkan $2$ dari $728$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

Langkah 5.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Langkah 5.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Langkah 5.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{364}{3}$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{6 \cdot 3}$

Langkah 5.6.2

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$\frac{364}{18}$

Langkah 5.6.3

Hapus faktor persekutuan dari $364$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Faktorkan $2$ dari $364$ .

$\frac{2 (182)}{18}$

Langkah 5.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

Langkah 5.6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

Langkah 5.6.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{182}{9}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{182}{9}$

Bentuk Desimal:

$20.\overline{2}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$20 \frac{2}{9}$