Kalkulus Contoh

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Langkah 1.3.2

Karena $\frac{2 π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

Langkah 1.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Gabungkan $\frac{2 π}{3}$ dan $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Langkah 1.3.3.2

Kalikan $- 10$ dengan $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Langkah 1.3.3.3

Gabungkan $\frac{- 20 π}{3}$ dan $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Langkah 1.3.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Langkah 1.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Langkah 1.3.6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

Langkah 1.3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Gabungkan $\frac{2 π}{3}$ dan $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Langkah 1.4.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

Langkah 1.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

Langkah 1.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

Langkah 1.4.2.3

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

Langkah 1.4.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- \frac{20 π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ dan $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Langkah 2.3.2

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{2 π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 π x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.6

Kalikan $\frac{2 π}{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.7

Karena $\frac{π}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{6}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

Langkah 2.3.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Tambahkan $\frac{2 π}{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 2.3.8.2

Kalikan $\frac{2 π}{3}$ dengan $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.3.8.3

Kalikan $20$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.4

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.5

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.8

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ dengan $20 π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ dengan $20 π$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Langkah 5.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Langkah 5.1.2.2.2

Bagilah $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ dengan $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Faktorkan $20$ dari $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

Langkah 5.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.2.1

Faktorkan $20$ dari $20 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

Langkah 5.1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

Langkah 5.1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Langkah 5.1.3.2

Bagilah $0$ dengan $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Langkah 5.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

Langkah 5.4

Kurangkan $\frac{π}{6}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

Langkah 5.5

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Langkah 5.6

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Langkah 5.6.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Langkah 5.6.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.2.1

Faktorkan $2 π$ dari $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Langkah 5.6.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Langkah 5.6.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

Langkah 5.6.2.1.1.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

Langkah 5.6.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Langkah 5.6.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Langkah 5.6.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Langkah 5.6.2.1.2.2

Faktorkan $π$ dari $- π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Langkah 5.6.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Langkah 5.6.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.6.2.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.6.2.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Langkah 5.6.2.1.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{4}$

Langkah 5.7

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

Langkah 5.8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

Langkah 5.8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.1

Kurangkan $\frac{π}{6}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Langkah 5.8.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 5.8.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 5.8.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 5.8.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.5.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 5.8.2.5.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.8.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.8.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.8.4.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.8.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1.1.2.1

Faktorkan $2 π$ dari $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.8.4.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.8.4.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

Langkah 5.8.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Langkah 5.8.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

Langkah 5.8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.2.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Langkah 5.8.4.2.1.2.2

Faktorkan $π$ dari $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Langkah 5.8.4.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Langkah 5.8.4.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

Langkah 5.8.4.2.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.8.4.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Langkah 5.9

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{1}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.1.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.1.3

Gabungkan $\frac{- 2}{4}$ dan $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangi pernyataan $\frac{- 2 π}{4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.2.1.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 7.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

Langkah 7.3.3

Tambahkan $- π$ dan $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

Langkah 7.3.4

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

Langkah 7.3.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

Langkah 7.3.6

Kalikan $40$ dengan $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

Langkah 8

$x = - \frac{1}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{1}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 9

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Langkah 9.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Langkah 9.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

Langkah 9.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

Langkah 9.2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

Langkah 9.2.4

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

Langkah 9.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

Langkah 9.2.5.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

Langkah 9.2.5.3

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

Langkah 9.2.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

Langkah 9.2.7

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Langkah 9.2.8

Jawaban akhirnya adalah $10$ .

$y = 10$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Gabungkan $\frac{5}{4}$ dan $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.1.2

Gabungkan $\frac{5 \cdot 2}{4}$ dan $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.2.2

Kurangi pernyataan $\frac{10 π}{4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $10 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.3.1.2

Kalikan $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

Langkah 11.3.3

Tambahkan $5 π$ dan $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Langkah 11.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Langkah 11.3.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

Langkah 11.3.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Langkah 11.3.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Langkah 11.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Langkah 11.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

Langkah 11.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

Langkah 11.5

Kalikan $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

Langkah 11.5.2

Kalikan $\frac{40 π^{2}}{9}$ dengan $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

Langkah 12

$x = \frac{5}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Langkah 13.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Langkah 13.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

Langkah 13.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

Langkah 13.2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

Langkah 13.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

Langkah 13.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

Langkah 13.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 13.2.5

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Langkah 13.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Langkah 13.2.6.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

Langkah 13.2.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

Langkah 13.2.8

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 13.2.9

Kalikan $10 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

Langkah 13.2.9.2

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

Langkah 13.2.10

Jawaban akhirnya adalah $- 10$ .

$y = - 10$

Langkah 14

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{5}{4}, - 10)$ adalah minimum lokal

Langkah 15