Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $\frac{- 2}{2}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.2.6.2.4

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- x + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- \frac{3}{20}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{20} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} (5 x^{4})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 5 (\frac{3}{20}) x^{4}$

Langkah 1.4.4

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{3}{20}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4}$

Langkah 1.4.5

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15}{20} x^{4}$

Langkah 1.4.6

Gabungkan $\frac{- 15}{20}$ dan $x^{4}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15 x^{4}}{20}$

Langkah 1.4.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 15$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Faktorkan $5$ dari $- 15 x^{4}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{20}$

Langkah 1.4.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.1

Faktorkan $5$ dari $20$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)}$

Langkah 1.4.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4}$

Langkah 1.4.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 3 x^{4}}{4}$

Langkah 1.4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3 x^{4}}{4}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- \frac{3}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3 x^{4}}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.6

Gabungkan $\frac{- 12}{4}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Faktorkan $4$ dari $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.7.2.4

Bagilah $- 3 x^{3}$ dengan $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Langkah 2.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$