Kalkulus Contoh

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d y} (x^{5} + 4 y^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x^{2} y^{7}$ terhadap $y$ adalah $4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2}$ dan $g (y) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 x'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (7 x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $7$ dengan $4$ .

$28 (x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$28 x^{2} y^{6} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} + 4 y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{5}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 y^{3}$ terhadap $y$ adalah $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} x' + 4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 x^{4} x' + 4 (3 y^{2})$

Langkah 3.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$5 x^{4} x' + 12 y^{2}$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' = 12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $5 x^{4} x'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2}$

Langkah 5.2

Kurangkan $28 y^{6} x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Langkah 5.3

Faktorkan $x'$ dari $8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $x'$ dari $8 y^{7} x x'$ .

$x' (8 y^{7} x) - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x'$ dari $- 2 x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $x'$ dari $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $x'$ dari $x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2$ .

$x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $x'$ dari $x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ dengan $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ dengan $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $4 y^{2}$ dari $12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Faktorkan $4 y^{2}$ dari $12 y^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $4 y^{2}$ dari $- 28 y^{6} x^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $4 y^{2}$ dari $4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$