Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sec^{2} (x)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

Langkah 2

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Langkah 3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Evaluasi $x \tan (x)$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Langkah 3.1.2

Evaluasi $\ln (| \sec (x) |)$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $\tan (\frac{π}{4})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Langkah 3.1.3.2

Kalikan $0$ dengan $\tan (0)$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Langkah 3.1.3.3

Tambahkan $\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ dan $0$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Langkah 3.1.3.4

Untuk menuliskan $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 3.1.3.5

Gabungkan $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Langkah 3.1.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Langkah 3.1.3.7

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Langkah 3.2.2

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Langkah 3.2.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Langkah 3.2.5

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.3.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ mendekati $1.41421356$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

Langkah 3.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

Langkah 3.3.3

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.43882457 \dots$