Kalkulus Contoh

$p (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x - 3} + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 3}$ sebagai ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.6

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.12

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.14

Kalikan $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.15

Pindahkan ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.16

Kalikan $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.17

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Langkah 1.1.3.2

Tambahkan $- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $p (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- \frac{1}{4 \sqrt{{(x - 3)}^{1}}}$

Langkah 3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$- \frac{1}{4 \sqrt{x - 3}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{4 \sqrt{x - 3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 \sqrt{x - 3} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(4 \sqrt{x - 3})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 3}$ sebagai ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$16 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$16 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$16 {(x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$16 (x - 3) = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$16 x + 16 \cdot - 3 = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.6

Kalikan $16$ dengan $- 3$ .

$16 x - 48 = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$16 x - 48 = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Tambahkan $48$ ke kedua sisi persamaan.

$16 x = 48$

Langkah 3.3.3.2

Bagi setiap suku pada $16 x = 48$ dengan $16$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $16 x = 48$ dengan $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{48}{16}$

Langkah 3.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{16 x}{16} = \frac{48}{16}$

Langkah 3.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{48}{16}$

Langkah 3.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.3.1

Bagilah $48$ dengan $16$ .

$x = 3$

Langkah 3.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x - 3}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 3 < 0$

Langkah 3.5

Tambahkan $3$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < 3$

Langkah 3.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 3$

$(- \infty, 3]$

$x \leq 3$

$(- \infty, 3]$

Langkah 4

Evaluasi $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x - 3} + 1$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(3) - 3} + 1$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0} + 1$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^{2}} + 1$

Langkah 4.1.2.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 1$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.4.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$0 + 1$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(3, 1)$

Langkah 5