Kalkulus Contoh

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 y^{2} - x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

Langkah 3.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $8 y y'$ ke kedua sisi persamaan.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 y'$ dari $6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2 y'$ dari $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $2 y'$ dari $8 y y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Susun kembali suku-suku.

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.1.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 y$ .

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.1.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $1$ ditambah $3$

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.1.2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.1.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 y + 1$ .

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ dengan $2 (3 y + 1) (y + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ dengan $2 (3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 5.5.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$