Kalkulus Contoh

$x y^{2} - y^{3} = x^{2} - 5$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 5)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} - y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 3.3

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 3.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Langkah 5.2

Faktorkan $y y'$ dari $2 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y y'$ dari $2 x y y'$ .

$y y' (2 x) - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y y'$ dari $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (2 x) + y y' (- 3 y) = 2 x - y^{2}$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y y'$ dari $y y' (2 x) + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ dengan $y (2 x - 3 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ dengan $y (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y}{2 x - 3 y}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{y}{2 x - 3 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y (2 x - 3 y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{y}{2 x - 3 y}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x - 3 y) y}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 x - 3 y) y$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x - y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.5

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Pindahkan $y$ .

$y' = \frac{2 x - (y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$