Kalkulus Contoh

$\sqrt{x e^{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x e^{x}}$ sebagai ${(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x e^{x}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 7.3

Pindahkan ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Langkah 10.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $x e^{x}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x} + e^{x})$

Langkah 11.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} e^{x} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.3

Gabungkan $\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.4

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.5

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.5.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.5.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.5.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.6

Faktorkan $e^{\frac{x}{2}}$ dari $x^{\frac{1}{2}} e^{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Faktorkan $e^{\frac{x}{2}}$ dari $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.9

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.10

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.10.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.10.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} e^{x}$

Langkah 11.3.11

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 11.3.12

Faktorkan $e^{\frac{x}{2}}$ dari $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 11.3.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.13.1

Faktorkan $e^{\frac{x}{2}}$ dari $2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 11.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 11.3.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.14

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3.15

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$