Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = x^{3} + 2$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = x^{3} + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1 + 2$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{u^{2}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Langkah 3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $t^{3} + 2$ dan pada $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

Langkah 8.2.2

Untuk menuliskan $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Langkah 8.2.3

Gabungkan $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Langkah 8.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

Langkah 8.2.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

Langkah 8.2.6

Tulis kembali $\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ sebagai hasil kali.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 8.2.7

Kalikan $\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

Langkah 8.2.8

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

Langkah 9.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

Langkah 9.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Langkah 9.4

Tulis kembali $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ sebagai $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Langkah 9.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Langkah 10

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Langkah 10.2

Pindahkan suku $\frac{1}{9}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

Langkah 10.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{t^{3} + 2}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 10.7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.7.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 10.7.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

Langkah 10.7.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

Langkah 10.7.2.3

Kalikan $- \frac{1}{9} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{9})$

Langkah 10.7.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{9}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{1}$