Kalkulus Contoh

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Langkah 4

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ ke $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) d x$

Langkah 5

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Langkah 6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sec (x)$ dan $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Langkah 7

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Langkah 8

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Langkah 9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Langkah 10.2

Susun kembali $\tan^{2} (x)$ dan $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Langkah 11

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (x)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Langkah 12

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Langkah 12.3

Susun kembali $\sec (x)$ dan $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Langkah 13

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Langkah 14

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Langkah 15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Langkah 16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Langkah 17

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Langkah 18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Langkah 19

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Langkah 20

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Langkah 21

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Langkah 22

Integral dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Langkah 23

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Terapkan sifat distributif.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Langkah 23.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Langkah 24

Ketika menyelesaikan $\int \sec^{3} (x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Langkah 25

Kalikan $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ dengan $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Langkah 26

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Langkah 27

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$