Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2.5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2.5.2.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.2.5.2.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Langkah 1.3.1.2

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \ln (4 - x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 4 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{1}{4 - x}$ dan $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.11

Gabungkan $\frac{3}{4 - x}$ dan $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.12

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.14

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Langkah 3.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Langkah 3.16

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

Langkah 3.17

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

Langkah 5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

Langkah 6

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

Langkah 7

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Langkah 9

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

Langkah 12.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Langkah 12.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Langkah 12.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 \cdot 1$

Langkah 12.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$