Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Langkah 1

Karena $\frac{9}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{9}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 3 x - 2$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 3 x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Langkah 2.3.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Langkah 2.5.2

Kurangi $2$ dengan $18$ .

$u_{upper} = 16$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Langkah 3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Langkah 5.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Langkah 5.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Langkah 5.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Langkah 5.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Langkah 5.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Langkah 5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Langkah 5.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{4}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Langkah 5.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Langkah 5.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Langkah 5.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{4}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ pada $16$ dan pada $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Langkah 7.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Langkah 7.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Langkah 7.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Langkah 7.2.10

Kurangi $4$ dengan $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Langkah 7.2.11

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Langkah 7.2.12

Kalikan $3$ dengan $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Langkah 7.2.13

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{84}{12}$

Langkah 7.2.14

Hapus faktor persekutuan dari $84$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.1

Faktorkan $12$ dari $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Langkah 7.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.2.1

Faktorkan $12$ dari $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Langkah 7.2.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Langkah 7.2.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7}{1}$

Langkah 7.2.14.2.4

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$7$

Langkah 8