Kalkulus Contoh

$\sqrt{2 + 2 x} {(x^{2} + 1)}^{3}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 + 2 x}$ sebagai ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{3}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 2 + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{{(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 10.3

Pindahkan ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Langkah 10.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ dan ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

Langkah 11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 12

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 13

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 14

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 15

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Langkah 17

Kalikan $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18

Untuk menuliskan $6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Kalikan ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Pindahkan ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Sederhanakan $6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ .

$\frac{6 (2 + 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(6 \cdot 2 + 6 (2 x)) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Faktorkan ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dari $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1.1

Faktorkan ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dari $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.1.2

Faktorkan ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dari ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.1.3

Faktorkan ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dari ${(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 12 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x \cdot x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 (x \cdot x) + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x^{2} + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.5

Tambahkan $12 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 13 x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$