Kalkulus Contoh

$y = e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = \cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d}{d t} [\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)] + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]$ .

$e^{t} (\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 t$ .

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$e^{t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 t$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 4.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 4.5

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 \sin (2 t)$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \sin (t)$ dan $g (t) = 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 5.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \cdot 1) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 6.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ adalah $a^{t} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Langkah 8.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + \cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Langkah 8.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Susun kembali $\cos (2 t)$ dan $e^{t}$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 4 \cdot e^{t} \cos (2 t) + e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $4 e^{t} \cos (2 t)$ dan $e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 5 e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $\sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) - 2 \cdot e^{t} \sin (2 t) + 2 e^{t} \sin (2 t)$

Langkah 8.3.4

Tambahkan $- 2 e^{t} \sin (2 t)$ dan $2 e^{t} \sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) + 0$

Langkah 8.3.5

Tambahkan $5 e^{t} \cos (2 t)$ dan $0$ .

$5 e^{t} \cos (2 t)$