Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x (x + 1)}$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{1}{x (x + 1)}$ sebagai ${(x (x + 1))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x (x + 1)$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.4.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

Langkah 4.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

Langkah 4.6.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

Langkah 5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $x (x + 1)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

Langkah 5.3

Susun kembali faktor-faktor dari $- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.7

Kalikan $- 2 x - 1$ dengan $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.9

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.11

Tulis kembali $- (2 x + 1)$ sebagai $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$