Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

Langkah 1

Terapkan identitas trigonometri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Langkah 1.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 1.3

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

Langkah 2

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ sebagai $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

Langkah 2.2

Perluas $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ dengan memindahkan $\cot (x)$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Langkah 3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Langkah 4

Pertimbangkan limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Langkah 5

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kiri.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

Langkah 6

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ , nilai fungsinya mendekati $0$ . Jadi, limit dari $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kiri adalah $0$ .

$0$

Langkah 7

Pertimbangkan limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Langkah 8

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Langkah 9

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ , nilai fungsinya mendekati $0$ . Jadi, limit dari $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan adalah $0$ .

$e^{0}$

Langkah 10

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1$