Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

Langkah 8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 9

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Evaluasi $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Langkah 11.1.2

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $4$ dan pada $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.9

Kurangi $2$ dengan $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.10

Gabungkan $3$ dan $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.11

Kalikan $3$ dengan $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $42$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.12.1

Faktorkan $3$ dari $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.1.3.12.2.4

Bagilah $14$ dengan $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Langkah 11.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

Langkah 11.3.3

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali $\ln (4)$ sebagai $\ln (2^{2})$ .

$14 - 2 \ln (2^{2})$

Langkah 12.2

Perluas $\ln (2^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

Langkah 12.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$14 - 4 \ln (2)$

Bentuk Desimal:

$11.22741127 \dots$

Langkah 14