Kalkulus Contoh

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ sehingga $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

Langkah 2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.3

Kalikan ${u_{2}}^{2}$ dengan $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Langkah 7

Susun kembali suku-suku.

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$