Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2.5.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.7.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.7.1.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.7.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.7.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.8

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \sin (2 x) - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.6.7

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \cdot 1}$

Langkah 3.7.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3}$

Langkah 3.8

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 x)}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Langkah 6

Pindahkan suku $6$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Langkah 9

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Langkah 10

Pindahkan suku $8$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Langkah 11

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Langkah 12

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 13

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 14.1.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 14.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (0)}$

Langkah 14.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cdot 1}$

Langkah 14.2.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8}$

Langkah 14.2.4

Tambahkan $- 3$ dan $8$ .

$\frac{1}{5}$