Kalkulus Contoh

$y = \tan (5 x)$ , $y = 2 \sin (5 x)$ , $- \frac{π}{15} \leq x \leq \frac{π}{15}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$

Langkah 1.2

Selesaikan $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Bagi setiap suku pada $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ dengan $\tan (5 x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Bagilah setiap suku di $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ dengan $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Langkah 1.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Langkah 1.2.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Langkah 1.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1

Pisahkan pecahan.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Langkah 1.2.1.3.2

Tulis kembali $\tan (5 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Langkah 1.2.1.3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (5 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Langkah 1.2.1.3.4

Tulis $\sin (5 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Langkah 1.2.1.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Langkah 1.2.1.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{2}{1} \cos (5 x)$

Langkah 1.2.1.3.6

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$1 = 2 \cos (5 x)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 \cos (5 x) = 1$ .

$2 \cos (5 x) = 1$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $2 \cos (5 x) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (5 x) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $\cos (5 x)$ dengan $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.4

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.6

Bagi setiap suku pada $5 x = \frac{π}{3}$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Bagilah setiap suku di $5 x = \frac{π}{3}$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Langkah 1.2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Langkah 1.2.6.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Langkah 1.2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 1.2.6.3.2

Kalikan $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Langkah 1.2.6.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Langkah 1.2.7

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.8.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.8.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 1.2.8.1.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 1.2.8.1.5

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 1.2.8.2

Bagi setiap suku pada $5 x = \frac{5 π}{3}$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x = \frac{5 π}{3}$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Langkah 1.2.8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Langkah 1.2.8.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Langkah 1.2.8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 1.2.8.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 1.2.8.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 1.2.8.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.9

Tentukan periode dari $\cos (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.9.2

Ganti $b$ dengan $5$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Langkah 1.2.9.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $5$ adalah $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Langkah 1.2.10

Periode dari fungsi $\cos (5 x)$ adalah $\frac{2 π}{5}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $\frac{2 π}{5}$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ untuk $x$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ ke $x$ dalam $y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{15} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 (3)} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.3.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ untuk $x$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan $2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.4.2.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Langkah 1.4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- \frac{π}{15}$ dan $\frac{π}{15}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - (\tan (5 x)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\tan (5 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} d x$

Langkah 3.3

Konversikan dari $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ ke $\tan (5 x)$ .

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.6

Biarkan $u_{1} = 5 x$ . Kemudian $d u_{1} = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Biarkan $u_{1} = 5 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Diferensialkan $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 3.6.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 3.6.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 3.6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{15}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Langkah 3.6.3.1.2

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Langkah 3.6.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Langkah 3.6.3.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Langkah 3.6.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Langkah 3.6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Langkah 3.6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.5.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Langkah 3.6.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Langkah 3.6.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 3.6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 3.6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{5}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.8

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.9

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $2$ .

$\frac{2}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.10

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Langkah 3.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Langkah 3.12

Biarkan $u_{2} = 5 x$ . Kemudian $d u_{2} = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Biarkan $u_{2} = 5 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1.1

Diferensialkan $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 3.12.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 3.12.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 3.12.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Langkah 3.12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.3.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{15}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Langkah 3.12.3.1.2

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Langkah 3.12.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Langkah 3.12.3.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Langkah 3.12.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Langkah 3.12.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Langkah 3.12.5

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.5.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Langkah 3.12.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Langkah 3.12.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 3.12.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 3.12.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Langkah 3.13

Gabungkan $\tan (u_{2})$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{5} d u_{2}$

Langkah 3.14

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 3.15

Integral dari $\tan (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Langkah 3.16

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.1

Evaluasi $- \cos (u_{1})$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Langkah 3.16.2

Evaluasi $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Langkah 3.16.3

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{2}{5} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Langkah 3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Langkah 3.17.2

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{3})$ adalah $2$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Langkah 3.17.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

Langkah 3.17.4

Gabungkan $\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.5

Untuk menuliskan $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.6

Gabungkan $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.8

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.9

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{10}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.10

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.10.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.10.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.17.10.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.18.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.18.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.18.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.5

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.18.6.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.6.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{5}$

Langkah 3.18.6.3

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{3})$ adalah $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{5}$

Langkah 3.18.6.4

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{5}$

Langkah 3.18.7

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{5}$

Langkah 3.18.8

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0 - 0}{5}$

Langkah 3.18.9

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{5}$

Langkah 3.18.10

Kurangi pernyataan $\frac{0 + 0}{5}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.18.10.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$\frac{5 (0) + 0}{5}$

Langkah 3.18.10.2

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{5}$

Langkah 3.18.10.3

Faktorkan $5$ dari $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5}$

Langkah 3.18.10.4

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 (1)}$

Langkah 3.18.10.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 \cdot 1}$

Langkah 3.18.10.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{0 + 0}{1}$

Langkah 3.18.11

Bagilah $0 + 0$ dengan $1$ .

$0 + 0$

Langkah 3.18.12

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 4