Kalkulus Contoh

$\ln (1 - x)$

Langkah 1

Tulis $\ln (1 - x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \ln (1 - x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (1 - x)$ dan $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Langkah 5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

Langkah 7.1.2

Kalikan $\int \frac{x}{1 - x} d x$ dengan $1$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

Langkah 7.2

Susun kembali $1$ dan $- x$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

Langkah 8

Bagilah $x$ dengan $- x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 8.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 8.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Langkah 8.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Langkah 8.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Langkah 8.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Langkah 11

Biarkan $u = - x + 1$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = - x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 11.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Langkah 12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 14

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x + 1$ .

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \ln (1 - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$