Kalkulus Contoh

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $x$ dari $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $x$ dari $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Langkah 4.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Langkah 6

Perluas $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.4

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.7

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.8

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.9

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Langkah 6.10

Pindahkan $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Langkah 8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$