Kalkulus Contoh

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{y} y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $x$ dari $2 x y - x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

Langkah 5.2.2.1.3

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

Langkah 5.2.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Langkah 5.2.2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

Langkah 5.2.2.1.5

Pindahkan $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

Langkah 5.2.2.1.6

Susun kembali $2 x y$ dan $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tambahkan $y' x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ dengan $y^{2} e^{y} + x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ dengan $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$