Kalkulus Contoh

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Langkah 1.1.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Langkah 1.1.3.1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Langkah 1.1.3.1.4

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Langkah 1.1.3.1.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Langkah 1.1.3.3.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \ln (t)$ dan $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Langkah 1.3.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Langkah 1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Langkah 1.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{t} - 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Langkah 1.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 e^{t}$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ adalah $a^{t} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Langkah 1.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $2 e^{t}$ dan $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

Langkah 1.3.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

Langkah 1.3.10

Gabungkan $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ dan $e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

Langkah 1.5

Gabungkan $\cos (t)$ dan $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Langkah 2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Langkah 2.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Langkah 2.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Langkah 2.6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Langkah 2.7

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Langkah 2.8

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Langkah 2.9

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan.

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

Langkah 4.2

Kalikan $\cos (0)$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

Langkah 4.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$