Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 1

Pisahkan pecahan $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ menjadi dua pecahan.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = x^{2} + 9$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x^{2} + 9$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 4.1.4

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 7.3

Kalikan $\int \frac{1}{u} d u$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $9$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Langkah 10.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$