Kalkulus Contoh

$\ln (x^{2} - x)$

Langkah 1

Tulis $\ln (x^{2} - x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \ln (x^{2} - x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \ln (x^{2} - x) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x^{2} - x)$ dan $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int x \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{2 x - 1}{x - 1} d x$

Langkah 6

Bagilah $2 x - 1$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$2 x$

$1$

Langkah 6.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$2$
	$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$

Langkah 6.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			+	$2 x$	-	$2$

Langkah 6.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x - 2$

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$

Langkah 6.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$
					+	$1$

Langkah 6.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (x^{2} - x) x - \int 2 + \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (x^{2} - x) x - (\int 2 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 9

Biarkan $u = x - 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 9.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 9.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \ln (| u |) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| u |) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \ln (x^{2} - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$