Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{3}}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Langkah 2

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{x^{3}}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Langkah 3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Langkah 4

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 5

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 9.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 9.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Langkah 9.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Langkah 10

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 11

Bagilah $x^{3}$ dengan $x^{2} + 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 11.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 11.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Langkah 11.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Langkah 11.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Langkah 11.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 11.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 11.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$2$

Langkah 11.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x^{2} - 4 x - 2$

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Langkah 11.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Langkah 11.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int x - 2 + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 14

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Langkah 15

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Langkah 15.1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 15.1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Langkah 15.1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 15.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 15.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Langkah 15.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 15.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 15.1.5.2

Bagilah $3 x + 2$ dengan $1$ .

$3 x + 2 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 15.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x + 2 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 15.1.6.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 15.1.6.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.6.2.1

Faktorkan $x + 1$ dari $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 15.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.6.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 15.1.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 15.1.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x + 2 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Langkah 15.1.6.2.2.4

Bagilah $B (x + 1)$ dengan $1$ .

$3 x + 2 = A + B (x + 1)$

Langkah 15.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x + 2 = A + B x + B \cdot 1$

Langkah 15.1.6.4

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$3 x + 2 = A + B x + B$

Langkah 15.1.7

Susun kembali $A$ dan $B x$ .

$3 x + 2 = B x + A + B$

Langkah 15.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$3 = B$

Langkah 15.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$2 = A + B$

Langkah 15.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$3 = B$

$2 = A + B$

$3 = B$

$2 = A + B$

Langkah 15.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B = 3$ .

$B = 3$

$2 = A + B$

Langkah 15.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $3$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $2 = A + B$ dengan $3$ .

$2 = A + 3$

$B = 3$

Langkah 15.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

Langkah 15.3.3

Selesaikan $A$ dalam $2 = A + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + 3 = 2$ .

$A + 3 = 2$

$B = 3$

Langkah 15.3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $A$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.3.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 2 - 3$

$B = 3$

Langkah 15.3.3.2.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

Langkah 15.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$A = - 1 B = 3$

Langkah 15.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = - 1, B = 3$

Langkah 15.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1}$

Langkah 15.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 16

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 17

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 18

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 18.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 18.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 18.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 18.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 18.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 19

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 19.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 19.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 20

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Langkah 21

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 22

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 22.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 22.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 22.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 22.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 22.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 23

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 24

Sederhanakan.

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 25

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 25.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 26

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$