Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $\sec^{2} (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.2.2

Bagilah $\sec^{2} (2 x)$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

Langkah 1.3.5

Kalikan $\sec^{2} (2 x)$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sec (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sec (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3

Naikkan $\sec (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.4

Naikkan $\sec (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Langkah 2.10

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

Langkah 4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\sec (2 x) = \pm 0$

Langkah 5.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Langkah 6

Jangkauan dari sekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Evaluasi turunan kedua pada $x =$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

Langkah 8

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

Langkah 8.2

Naikkan $1.00060954$ menjadi pangkat $2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

Langkah 8.3

Kalikan $4$ dengan $1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

Langkah 8.4

Evaluasi $\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

Langkah 8.5

Kalikan $4.00487784$ dengan $0.03492076$ .

$0.13985341$

Langkah 9

$x =$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x =$ adalah minimum lokal

Langkah 10

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ adalah minimum lokal

Langkah 11