Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Langkah 1.3.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Langkah 2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Langkah 4

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 6

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 7

Pisahkan pecahan.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 9

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Langkah 10

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Langkah 11

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\tan (x) = - 1$

Langkah 12

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (- 1)$

Langkah 13

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Nilai eksak dari $\arctan (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Langkah 14

Fungsi tangen negatif pada kuadran kedua dan keempat. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Langkah 15

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Langkah 15.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{4}$ positif dan koterminal dengan $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 16

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 18.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 18.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 18.1.4

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 18.1.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 18.1.5

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Langkah 18.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 18.1.7

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 18.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Langkah 18.2.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 18.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 18.2.3.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 19

$x = - \frac{π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 20.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 20.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Langkah 20.2.1.4

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Langkah 20.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 20.2.1.6

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 20.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Langkah 20.2.2.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 20.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Langkah 20.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 20.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 20.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Langkah 20.2.2.3.2.4

Bagilah $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Langkah 20.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Langkah 21

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Langkah 22

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Langkah 22.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Langkah 22.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 22.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.2.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Langkah 22.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 22.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 22.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Langkah 22.2.3.2.4

Bagilah $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- \sqrt{2}$

Langkah 23

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 24

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Langkah 24.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Langkah 24.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Langkah 24.2.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 24.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.1.5

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.1.5.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2.3.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Langkah 24.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Langkah 25

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ adalah minimum lokal

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ adalah maksimum lokal

Langkah 26