Kalkulus Contoh

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

Langkah 1.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.1.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.1.5.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.1.5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(1 + 4 x)}^{2}$ dan $1 + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1

Faktorkan $1 + 4 x$ dari $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

Langkah 1.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Langkah 1.1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Langkah 1.1.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

Langkah 1.1.5.2.2.4

Bagilah $B (1 + 4 x)$ dengan $1$ .

$x = A + B (1 + 4 x)$

Langkah 1.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

Langkah 1.1.5.4

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$x = A + B + B (4 x)$

Langkah 1.1.5.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x = A + B + 4 B x$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Pindahkan $B$ .

$x = A + B + 4 x B$

Langkah 1.1.6.2

Pindahkan $B$ .

$x = A + 4 x B + B$

Langkah 1.1.6.3

Susun kembali $A$ dan $4 x B$ .

$x = 4 x B + A + B$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = 4 B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Selesaikan $B$ dalam $1 = 4 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$0 = A + B$

Langkah 1.3.1.2

Bagi setiap suku pada $4 B = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.1

Bagilah setiap suku di $4 B = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Langkah 1.3.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Langkah 1.3.1.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{1}{4}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $0 = A + B$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $A$ dalam $0 = A + \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + \frac{1}{4} = 0$ .

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangkan $\frac{1}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Langkah 1.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

Langkah 1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.5.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Langkah 1.5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

Langkah 1.5.5

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = 1 + 4 x$ . Kemudian $d u_{1} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = 1 + 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 4 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 5.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$0 + 4$

Langkah 5.1.4

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$4$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 6.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 8.1.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 8.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 8.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 8.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 1 + 4 x$ . Kemudian $d u_{2} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 1 + 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Langkah 11.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 4 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 11.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 11.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Langkah 11.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$0 + 4$

Langkah 11.1.4

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$4$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Langkah 12.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 14.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 15

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan.

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 16.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 16.2.2

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 16.2.3

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$