Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2.1.2

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2.1.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{5 - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{5 - 5 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} \tan (3 x - 3)}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Langkah 1.3.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Langkah 1.3.1.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Langkah 1.3.1.5

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{4 \tan (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 1 \cdot 3)}$

Langkah 1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 3)}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (0)}$

Langkah 1.3.3.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Langkah 1.3.3.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - 5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.5

Kurangi $10 x$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \tan (3 x - 3)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 3 x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Langkah 3.7.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Langkah 3.8

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3]}$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Langkah 3.10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Langkah 3.12

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Langkah 3.13

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + 0)}$

Langkah 3.14

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \cdot 3}$

Langkah 3.15

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Langkah 4

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $2$ dari $- 10 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $2$ dari $12 \sec^{2} (3 x - 3)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 1} \frac{- 5 x}{6 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Langkah 5

Pindahkan suku $\frac{- 5}{6}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- 5}{6} lim_{x \to 1} \frac{x}{\sec^{2} (3 x - 3)}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sec^{2} (3 x - 3)}$

Langkah 7

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (3 x - 3)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} \sec (3 x - 3))}^{2}}$

Langkah 8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Langkah 9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Langkah 10

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan.

$\frac{- 5 \cdot 1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Langkah 13.2

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Langkah 13.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}$

Langkah 13.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 3)}$

Langkah 13.3.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (0)}$

Langkah 13.3.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{- 5}{6 \cdot 1^{2}}$

Langkah 13.3.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 5}{6 \cdot 1}$

Langkah 13.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{- 5}{6}$

Langkah 13.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{6}$