Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2.1.2

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 5.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 5.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $\frac{1}{\tan (t)}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali $\tan (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Langkah 5.2.3.2

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Langkah 5.2.3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Langkah 5.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Langkah 5.2.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Langkah 5.2.3.5

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (t)}$ ke $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Langkah 6

Integral dari $\csc (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

Langkah 8

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$