Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{\sqrt[6]{x^{2} - 5 x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[6]{x^{2} - 5 x}$ sebagai ${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}$ .

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}}$ sebagai ${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

Langkah 4.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

Langkah 4.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 1}{6}}]$

Langkah 4.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ dan $g (x) = x^{2} - 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 5 x$ .

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.6.2

Kurangi $6$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.7.2

Gabungkan ${(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.7.3

Pindahkan ${(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 5 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Langkah 4.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Langkah 4.10

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5 \cdot 1)$

Langkah 4.12

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5)$

Langkah 4.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Susun kembali faktor-faktor dari $- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5)$ .

$- (2 x - 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.2

Terapkan sifat distributif.

$(- (2 x) - - 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(- 2 x - - 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$(- 2 x + 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.5

Kalikan $- 2 x + 5$ dengan $\frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{- 2 x + 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.7

Tulis kembali $5$ sebagai $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 5)}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (2 x - 5)}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.9

Tulis kembali $- (2 x - 5)$ sebagai $- 1 (2 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 5)}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 4.13.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x - 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{2 x - 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$