Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 1.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $e^{u_{2}}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Langkah 5.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.85914091 \dots$