Kalkulus Contoh

$x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x^{3} \cdot e^{x^{2}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int u \cdot e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{u}{2}$ dan $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u$ dan $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Langkah 8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Langkah 9

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Langkah 11.2

Kalikan $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Langkah 11.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Langkah 11.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$